Steigung berechnen – Steigung einer Geraden aus zwei Punkten
Gib zwei Punkte ein und erhalte Steigung, Geradengleichung, Achsenabschnitte, Steigungswinkel, Abstand und Mittelpunkt – mit Rechenweg und Graph.
Die Steigung ist m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Für die Punkte (1 | 2) und (4 | 8): m = (8 − 2) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2, die Geradengleichung lautet y = 2x + 0.
So funktioniert: Steigung berechnen
- Gib die Koordinaten des ersten Punkts (x₁, y₁) ein.
- Gib die Koordinaten des zweiten Punkts (x₂, y₂) ein. Kommazahlen und negative Zahlen sind möglich.
- Lies die Steigung ab – wenn möglich als Bruch – und die Geradengleichung.
- Prüfe den Rechenweg und den Graphen, um das Ergebnis nachzuvollziehen.
Die Formel für die Steigung
Die Steigung gibt an, wie steil eine Gerade ist und in welche Richtung sie verläuft. Sie ist die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x zwischen zwei Punkten:
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
Im Unterricht zeichnet man dafür das Steigungsdreieck: Wie viele Einheiten geht es nach oben (Δy), wenn man eine bestimmte Strecke nach rechts geht (Δx)?
Was die Steigung verrät
| Steigung | Gerade | Beispiel |
|---|---|---|
| Positiv | Steigt von links nach rechts | m = 2 |
| Negativ | Fällt von links nach rechts | m = −1/2 |
| Null | Waagerecht | y = 3 |
| Nicht definiert | Senkrecht | x = 4 |
Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung, weil Δx null ist und man nicht durch null teilen kann. Der Rechner weist dann darauf hin und gibt stattdessen die Gleichung x = … aus.
Geradengleichung aufstellen
Mit der Steigung schreibst du die Gerade in zwei üblichen Formen:
- Normalform: y = mx + b, wobei b der y-Achsenabschnitt ist (dort schneidet die Gerade die y-Achse). Du berechnest ihn mit b = y₁ − m × x₁.
- Punkt-Steigungs-Form: y − y₁ = m(x − x₁). Praktisch, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind.
Die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) liegt bei x = −b ÷ m.
Steigungswinkel, Abstand und Mittelpunkt
Der Steigungswinkel ist α = arctan(m); eine Steigung von 1 entspricht 45°. Der Abstand der Punkte folgt aus dem Satz des Pythagoras: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Der Mittelpunkt ist der Durchschnitt der x-Werte und der y-Werte.
Steigung im Alltag
Steigungen findest du bei Straßen und Rampen (in Prozent: Steigung × 100), Dächern und Diagrammen von Geschwindigkeit oder Stückkosten. Ein Verkehrsschild mit 10 % bedeutet 10 m Höhenunterschied auf 100 m. Rollstuhlrampen sollten nach DIN 18040 höchstens 6 % steil sein. Für weitere Hausaufgaben zeigt auch der kgV-Rechner den Rechenweg.
Diese kostenlosen Tools könnten dir auch helfen: GPA-Rechner, kgV- und ggT-Rechner und Standardabweichung berechnen.
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Steigung aus zwei Punkten?
Ziehe die y-Werte voneinander ab, ziehe die x-Werte in derselben Reihenfolge ab und teile: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
Welche Steigung hat eine waagerechte Gerade?
Null. Der y-Wert ändert sich nicht, daher ist Δy = 0.
Welche Steigung hat eine senkrechte Gerade?
Keine – sie ist nicht definiert, weil Δx = 0 ist und man nicht durch null teilen kann. Die Gleichung lautet x = Konstante.
Wie stelle ich die Geradengleichung aus zwei Punkten auf?
Berechne die Steigung m und dann b = y₁ − m × x₁. Die Gleichung lautet y = mx + b. Der Rechner zeigt beide Schritte.
Wie rechne ich Steigung in Prozent oder Grad um?
Steigung mal 100 ergibt die Steigung in Prozent. Den Winkel bekommst du mit arctan(m); eine Steigung von 0,5 entspricht etwa 26,6°.
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