Primzahl prüfen – Ist die Zahl prim? Mit Primfaktorzerlegung
Geben Sie eine ganze Zahl ein und sehen Sie sofort, ob sie prim ist. Falls nicht, erhalten Sie die Primfaktorzerlegung, die Anzahl der Teiler und die benachbarten Primzahlen.
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst. 97 ist eine Primzahl, 91 nicht, denn 91 = 7 · 13. 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt, und 2 ist die einzige gerade Primzahl.
So funktioniert: Primzahl prüfen
- Ganze Zahl eingeben.
- Ablesen, ob sie prim oder zusammengesetzt ist.
- Bei zusammengesetzten Zahlen die Primfaktorzerlegung ansehen.
- Die Anzahl der Teiler prüfen.
- Bei Bedarf die nächste oder vorherige Primzahl nutzen.
Was ist eine Primzahl?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist. 2, 3, 5, 7, 11 und 13 sind Primzahlen. Eine Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist, heißt zusammengesetzt: Sie lässt sich als Produkt kleinerer Zahlen schreiben, etwa 12 = 2 · 2 · 3.
0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt. Die 1 hat nur einen Teiler; sie auszuschließen sorgt dafür, dass jede Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat.
Primzahlen bis 100
| Bereich | Primzahlen |
|---|---|
| 1–20 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 |
| 21–40 | 23, 29, 31, 37 |
| 41–60 | 41, 43, 47, 53, 59 |
| 61–80 | 61, 67, 71, 73, 79 |
| 81–100 | 83, 89, 97 |
Unter 100 gibt es 25 Primzahlen.
So prüft man auf Primzahl
Es genügt, Teiler bis zur Quadratwurzel zu testen. Hätte 97 einen Teiler, wäre einer davon höchstens √97 ≈ 9,8 – also reicht es, 2, 3, 5 und 7 zu prüfen. Keine teilt 97, also ist sie prim. Schnelle Regeln: Gerade Zahlen über 2 sind nicht prim, ebenso Zahlen mit Endziffer 0 oder 5 (außer 5), und ist die Quersumme durch 3 teilbar, ist es auch die Zahl.
Das Tool nutzt Probedivision durch 2, 3 und Zahlen der Form 6k ± 1 – schnell genug für jede Zahl bis 9.007.199.254.740.991, die größte ganze Zahl, die JavaScript exakt speichert.
Primfaktorzerlegung
Jede zusammengesetzte Zahl ist ein eindeutiges Produkt von Primzahlen: 360 = 2³ · 3² · 5. Daraus ergibt sich die Teileranzahl, indem man jeden Exponenten um 1 erhöht und multipliziert: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 Teiler. Auch ggT und kgV beruhen darauf – der kgV- und ggT-Rechner berechnet sie direkt.
Warum Primzahlen wichtig sind
Primzahlen sind die Bausteine aller natürlichen Zahlen. Moderne Verschlüsselung wie RSA beruht darauf, dass das Multiplizieren zweier riesiger Primzahlen leicht, das Zerlegen des Produkts aber extrem schwer ist. Eine andere Seite der Kryptografie zeigt der Hash-Generator.
Diese kostenlosen Tools könnten dir auch helfen: GPA-Rechner, kgV- und ggT-Rechner und Steigung berechnen.
Häufige Fragen
Ist 1 eine Primzahl?
Nein. Eine Primzahl braucht genau zwei verschiedene Teiler, die 1 hat nur einen.
Ist 2 eine Primzahl?
Ja, die kleinste und die einzige gerade Primzahl.
Wie erkenne ich eine Primzahl?
Prüfen, ob eine Primzahl bis zur Quadratwurzel die Zahl ohne Rest teilt. Wenn nicht, ist sie prim.
Was ist die Primfaktorzerlegung?
Die Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen, etwa 360 = 2³ · 3² · 5. Sie ist für jede Zahl eindeutig.
Wie viele Primzahlen gibt es?
Unendlich viele, wie Euklid bewies. Unter 100 sind es 25, unter 1.000 sind es 168.
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