Comment savoir si un nombre est premier

Apprendre comment savoir si un nombre est premier est une petite compétence mathématique qui sert encore et encore. Que ce soit pour un devoir, la préparation d'un examen ou la résolution d'une énigme, il vous faut une méthode fiable, pas une supposition. La bonne nouvelle, c'est que la méthode manuelle la plus fiable est simple, et une fois que vous comprenez pourquoi elle fonctionne, vous pouvez tester presque n'importe quel nombre courant en une ou deux minutes.

Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Si aucun nombre plus petit (à part 1) ne le divise exactement, il est premier. Si vous trouvez ne serait-ce qu'un seul diviseur, il est composé, et c'est terminé. Ci-dessous, vous apprendrez ce test étape par étape, ainsi que des raccourcis, et pourquoi les nombres premiers comptent bien au-delà de la salle de classe.

Ce qui rend un nombre premier

Commencez par la définition, car elle dissipe les deux erreurs les plus courantes. D'abord, 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur, lui-même, et ne respecte donc pas la règle des « exactement deux diviseurs ». Ensuite, 2 est premier, et c'est le seul nombre premier pair. Tout autre nombre pair est divisible par 2, il possède donc au moins trois diviseurs et ne peut pas être premier.

Par exemple, 7 est premier parce que ses seuls diviseurs sont 1 et 7. Le nombre 6 est composé parce qu'il est divisible par 2 et 3, ainsi que par 1 et 6. Le nombre 13 est premier, tandis que 15 est composé parce que 15 divisé par 3 égale 5.

La méthode de la division par essai à la main

La division par essai est la méthode manuelle standard : vous essayez de diviser votre nombre par des nombres premiers, un à la fois, et vous regardez si l'un d'eux divise exactement. L'astuce consiste à savoir quand s'arrêter. Il suffit de tester les diviseurs jusqu'à la racine carrée du nombre. Si aucun ne divise exactement, le nombre est premier, c'est garanti.

Pourquoi la règle de la racine carrée fonctionne-t-elle ? Parce que les diviseurs vont par paires. Si un nombre n possède un diviseur supérieur à la racine carrée de n, alors son diviseur partenaire (n divisé par ce diviseur) doit être inférieur à la racine carrée. Donc, si vous avez déjà testé tous les nombres premiers jusqu'à la racine carrée sans rien trouver, aucun diviseur plus grand ne peut se cacher au-delà. Tester au-delà de la racine carrée est un effort inutile.

Testons 97. Puisque 9 fois 9 égale 81 et 10 fois 10 égale 100, la racine carrée de 97 est d'environ 9,8. Nous ne testons donc que les nombres premiers jusqu'à 9,8 : 2, 3, 5 et 7. Divisons : 97 divisé par 2 donne 48,5, ce n'est pas un entier. Divisé par 3, cela donne 32,33, pas un entier. Divisé par 5, cela donne 19,4, pas un entier. Divisé par 7, cela donne 13,86, pas un entier. Aucun ne divise exactement, donc 97 est premier. Quatre divisions, et nous en sommes certains.

Essayez maintenant 91, un nombre qui a l'air premier mais ne l'est pas. Sa racine carrée est d'environ 9,5, donc nous testons à nouveau 2, 3, 5 et 7. 91 est impair, donc 2 échoue. Ses chiffres totalisent 10, qui n'est pas divisible par 3, donc 3 échoue. Il ne se termine ni par 0 ni par 5, donc 5 échoue. Mais 91 divisé par 7 égale exactement 13. Nous avons trouvé un diviseur, donc 91 est composé : 91 égale 7 fois 13. Une seule division réussie règle la question.

Voici la liste de contrôle réutilisable à chaque fois. Si le nombre est 0 ou 1, il n'est pas premier. Si c'est 2, il est premier. S'il est pair et supérieur à 2, il est composé. Sinon, estimez la racine carrée, listez les nombres premiers jusqu'à cette valeur et divisez par chacun d'eux. Si l'un divise exactement, le nombre est composé. Si aucun ne le fait, il est premier.

Des raccourcis qui font gagner du temps

Après avoir testé 2, il suffit de tester les nombres premiers impairs. Inutile de tester 4, 6, 8 ou 9, car un nombre divisible par 4 aurait déjà échoué au test de 2. Sauter les diviseurs composés réduit le travail environ de moitié.

Ensuite, apprenez les règles rapides de divisibilité. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 : 237 a des chiffres dont la somme est 12, donc 237 est divisible par 3 et donc composé. Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. Un nombre est divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est 0 ou un multiple de 11 : 121 donne 1 moins 2 plus 1, ce qui égale 0, donc 121 est divisible par 11 (en effet, 11 fois 11). Ces règles permettent d'éliminer de nombreux diviseurs sans poser de longues divisions.

Vérifiez aussi d'abord les cas faciles : les nombres pairs, les nombres se terminant par 5 et les nombres dont les chiffres totalisent un multiple de 3. De nombreux candidats tombent sur l'un de ces obstacles, et vous les repérerez en quelques secondes. Pour les nombres supérieurs à 1 000, la méthode manuelle fonctionne toujours, mais la liste s'allonge : la racine carrée de 1 000 est d'environ 31,6, vous testeriez donc les nombres premiers jusqu'à 31.

Un autre lien mérite d'être connu. La décomposition en facteurs premiers — décomposer un nombre en ses briques premières — facilite d'autres sujets. Une fois que vous savez factoriser en nombres premiers, trouver un plus petit commun multiple devient beaucoup plus facile, car le PPCM se construit à partir des plus grandes puissances des nombres premiers impliqués. Si vous en avez besoin un jour, un calculateur de PPCM peut se charger du calcul pendant que vous vous concentrez sur la méthode.

Pourquoi les nombres premiers comptent (chiffrement !)

Les nombres premiers peuvent ressembler à une curiosité de classe, mais ils protègent presque tout ce que vous faites en ligne. Le chiffrement moderne, qui protège vos mots de passe, vos coordonnées bancaires et vos messages privés, repose sur une simple asymétrie : multiplier deux grands nombres premiers est facile, mais factoriser l'énorme résultat pour retrouver ses deux facteurs premiers est extrêmement difficile. Cette difficulté est la serrure de la porte.

Voici l'idée en miniature. Prenez deux nombres premiers, 17 et 19. Les multiplier donne 323, ce qui est facile. Mais si l'on vous donne seulement le nombre 323 en vous demandant quels deux nombres premiers l'ont produit, vous devez travailler à rebours par division par essai — et avec des nombres de centaines de chiffres, cela devient pratiquement impossible même pour des supercalculateurs. Le chiffrement réel utilise des nombres premiers de centaines de chiffres, et votre navigateur utilise ce type de mathématiques chaque fois qu'il affiche le cadenas sur un site sécurisé.

Les nombres premiers sont aussi les atomes des nombres : tout nombre entier supérieur à 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers d'une seule façon, un résultat appelé le théorème fondamental de l'arithmétique.

Testez n'importe quel nombre instantanément

Une fois que vous comprenez la méthode manuelle, vous saurez exactement ce que fait un vérificateur automatique, et vous pourrez contrôler ses réponses. Pour un devoir, pour des nombres plus grands ou simplement pour confirmer un résultat à la main, un outil instantané fait gagner du temps et lève les doutes. Essayez le vérificateur de nombres premiers gratuit : tapez n'importe quel nombre et il vous dira immédiatement s'il est premier, sans inscription ni téléchargement.

La meilleure façon d'apprendre est de combiner les deux approches. Testez d'abord un nombre à la main, puis vérifiez votre réponse avec l'outil. S'ils concordent, votre confiance grandit. S'ils divergent, reprenez les divisions : vous trouverez généralement une petite erreur de calcul, et la repérer vous-même est exactement ce qui ancre la méthode.

1 est-il un nombre premier ?

Non. Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur, il n'est donc ni premier ni composé.

Quelle est la façon la plus rapide de vérifier un petit nombre à la main ?

Utilisez la division par essai jusqu'à la racine carrée, en testant uniquement des diviseurs premiers. Éliminez d'abord les nombres pairs, les nombres se terminant par 5 et ceux dont les chiffres totalisent un multiple de 3. Pour les nombres inférieurs à 100, cela représente au maximum quatre divisions.

Pourquoi ne tester que jusqu'à la racine carrée ?

Les diviseurs vont par paires dont le produit donne le nombre. S'il existait un diviseur supérieur à la racine carrée, son partenaire serait inférieur à la racine carrée, et vous l'auriez déjà trouvé. Tester au-delà ne peut pas changer la réponse.

Un grand nombre pair peut-il être premier ?

Non : 2 est le seul nombre premier pair. Tout nombre pair supérieur à 2 est divisible par 2, il possède donc au moins trois diviseurs et est composé.

En conclusion, savoir comment savoir si un nombre est premier se résume à une habitude fiable : tester les diviseurs premiers jusqu'à la racine carrée et faire confiance au résultat. Rappelez-vous que 1 n'est pas premier, que 2 est le seul nombre premier pair et qu'un seul diviseur suffit à prouver qu'un nombre est composé. Entraînez-vous avec 97, 91, 131 et 143, et la méthode deviendra vite naturelle. Pour une confirmation rapide, le vérificateur de nombres premiers gratuit vérifie votre réponse en quelques secondes.